|
Giriş: Ekim sayısında Ünal Ufuktepe'nin Matematiksellik ve Matematik Felsefesine Giriş yazısı üzerine ARAFİYAN forumda Hasan Bahçekapılı'nın başlatmış olduğu ve Ünal Ufuktepe, Yusuf Gürsey, Taner Bilgiç, Ali Bali ve Zülfü Aşık'ın katılımlarıyla genişleyen, MATEMATİĞİN TEMELLERİ üzerine başlıca konuşmaları içerir henüz bitmemiş olan bir forum yazısıdır. HASAN BAHÇEKAPILI: Ünal'ın, derginin Ekim sayısındaki Matematiksellik yazısıyla ilgili olarak bazı sorularım olacak. Aslında yazıyı daha dikkatli okusam belki soruların cevaplarını bulabilirim, ama ben kolay yolu seçip "Şunu bir daha anlatsana Ünal" demeyi tercih ediyorum. Matematik felsefesine girmişiz ama çıkmamışız. Zaten üniversitelerde de hep giriş dersleri (PHIL 101-Introduction to Philosophy) verilir, çıkış dersleri (PHIL 999-Exit from Philosophy) hiç verilmez. Çıkışın Matematik sayısında olacağını tahmin ediyorum ama ben bekleyemedim. Maruzatım soyle: Matematiksel mantık konusunda dört okul sıralanmış:
Ben bunların farkını tam olarak anlayamadım. Bunlar aynı soruya cevap veren okullar mı, ondan da emin değilim. Şimdi bir Platoncu ne der? Herhalde şöyle birşey der: Matematiksel nesnelerin kendilerine ait bağımsız bir varlık alanları vardır. Yani nasıl şu bilgisayar benden bağımsız olarak olgular dünyasında "varsa", "2" sayısı da benim onu düşünmemden veya keşfetmemden bağımsız olarak formlar dünyasında "vardır". Yani bu matematiksel nesnelerin ontolojik statüsüyle ilgili bir iddia. Peki bir Mantıkçı ne der? Ünal'ın yazısından anladığım kadarıyla (yanlış anlamış olma ihtimalim hiç düşük değil) şöyle birşey: Matematik mantığa indirgenebilir. Bu matematiği küçümseyen bir hava taşıyorsa şöyle de söyleyebiliriz: Matematik, aksiyomlardan ve tanımlardan yola çıkılarak mantıksal bir sistem kesinliğine sahip olacak şekilde kurulabilir. Yani bu matematiğin neye dayandığı, iddialarının doğruluğunu nasıl gösterdiğiyle ilgili bir iddia. Sanırım bu Frege'nin yapmak istediği, Russell'ın yapamadığını gösterdiği, Gödel'in de hiçbir zaman yapılamayacağını gösterdiği şey oluyor. Gene burada bir insanın hem Platoncu hem de Temelci olmasında bir sakınca yok gibi görünüyor. Çünkü bunlar ayrı sorulara cevap veren okullar. Ama Platon gelip de Temelcilerin yapmak istediklerini görse ne derdi acaba? Bir Biçimci ne der? Onu pek iyi anlayamadım. Yazıda dendiğine göre matematiksel nesnelerin insan zekası ürünü, sanal şeyler olduğunu söyler. Yani Platonculuğa karşı bir görüş. Ama Sezgiciler için de aynı şey söylenmiş. Ve başka da hiçbir şey söylenmemiş. Ben kendi sezgilerimi kullanarak ne diyor olabilecekleriyle ilgili tahminlerde bulunabilirim. Mesela bir Sezgici matematiksel doğruların en temelde mantığa değil sezgilere dayandığını söylüyor olabilir. Bu şekilde sadece matematiksel nesnelerle ilgili değil, matematiğin temeliyle ilgili bir iddiada da bulunup Temelciliğe karşı çıkmış olur. Burada aklıma matematiğin analitik değil sentetik önermelerden oluştuğunu ileri süren Kant geliyor ve onu hop diye Sezgiciler kampına atıyorum. Bana kalsa bu karışık işleri basit ve anlaşılır kılmak için daha neler yaparım. Ama daha ileri gitmeden sözü Ünal'a bırakayım. Ünal, ben bu işleri anlar gibi olmuş muyum, yoksa kendi kendime saçmalayıp duruyor muyum? ÜNAL UFUKTEPE: Hasan benim Ekim sayısında yazdığım 'Matematiksellik ve Matematik Felsefesi' ile ilgili yazım için "şunu bir daha anlatsana Ünal" diyor. Gecenin bir yarısı yazısını okuduktan sonra sabaha kadar yatakta kıvranıp durdum, Gauss "Hiçten yepyeni bir evren yaratır mısın Ünal?" deyip durdu. Oncelikle Hasan'ın kimi yanıtları, içlerinde gizli soruları ile başlamak istiyorum. Doğrudur, Matematik Felsefesine hep gireriz ama kapıdan döneriz, çıkış ile giriş arasındaki ÖLÇÜ küçüktür SIFIRDIR. Bizim diyarlarda işe girmeye bile kimsenin cesareti yetmez, o iş ODTÜ'de Cemal hocanın üzerine yıkılmıştır, C.Yıldırım hoca da tekliğinden olsa gerek, hiçbir zaman derinliğe inmeye cesaret edememiştir, Şafak hoca (Şafak Alpay), Ali Nesin de son sıralar konuya ürkek ürkek ve hep giriş düzeyinde dokunmaya calışıyorlarsa da bence dediğin gibi hep giriş ve tarihi bilgi düzeyinde. Simdi ben bunu zamanım boyutunda ve kapasitem ölçüsünde ne kadar aşarım, takdir sizlerin. Hasan, benim sıraladığım o dört okul Matematiğin temelleri üzerine, matematiğin oluşu ve matematiksel gerçeklere (ki Özel sayıda geniş boyutta değineceğim bir konu) yaklaşım ve yorum biçimlerindeki farklılıklar ile şekillenmiş. Ama onların aralarına ben onlarca yeni okul sıkıştırabilirim. Tarih içinde temellerdeki aksiyomların "apaçık doğru" olduğu inancı sarsılınca (Örnek: Euclides-Lobachevsky-Riemann geometrileri ve ufukta gözükenler) aksiyomların sezgilerimize koşul olma değerini yitirmesi özgürlüğüne kavuştuk. Ama temel matematik disiplini, matematik sistemi kendi içinde hep TUTARLILIĞINI ve GEÇERLİLİĞİNİ korur. Aksiyomlarımız apaçık doğrular olmasa bile yorumda özgürüzdür. Bu yüzdendir ki uygulamalı bilimlerdeki dostlarımız üç boyut içinde sıkışıp kalırken bizler hergün yepyeni bir uzaya ve boyuta açılırız, ölçüt tabii ki kendi seçtiğimiz aksiyomlardır. Olaya bu gözle bakarsan Kant'ı sakın ola bir okulun içine atıp öldürme, bırak kendi öznelliği içinde kalsın. Frege ve Russell kısmında sanırım zaman karışımı yaşıyorsun. Frege Russell'dan önce geliyor. Ve Mantıkçılığı temeline bir disiplin olarak oturtan Russell. Ben burada kesmek zorundayım. Lütfen karışan yerler varsa aralara girin ve konuyu açmamıza yardımcı olun. HASAN BAHÇEKAPILI: Konuya girmeden önce birkaç konudışı söz söyleyeyim. Bu yazışmaya girişme sebebim elbette ki matematik felsefesindeki sorunları çözmek veya dürtükleyerek Ünal'ın çözmesini sağlamak değil. Merakımı çeken bir iki konuyu gündeme getiriyorum sadece. Bunları burada halledemezsek derginin Matematik sayısını veya o da olmazsa yeni matematik felsefecilerinin yetişmesini bekleyebilirim. İkinci bir not da Türkiye'de matematik felsefesiyle uğraşanlarla ilgili. Ünal ODTÜ'dekilerden bahsetmiş. Ben Boğaziçi'li olduğum için ben de orayı biliyorum. Felsefe bölümünden Yalçın Koç ara sıra Matematik felsefesi dersi verirdi. Asıl konusunun bu olmadığını biliyorum. Ama matematik öğrencileri arasında bayağı popülerdi bu ders. Almaya cesaret edemesem de matematikçi arkadaşlarımın peşine takılıp birkaç dersine girmiştim. Bu arkadaşlarımdan biri (özel sayı için yazı istediğim) sonradan Yalçın Koç'la özel olarak da çalışmıştı. Yani dışarıdan bakıldığında adam önemli birşeyler yapıyor gibi görünüyordu. Ve fakat ne yaptığıyla ilgili hiçbir bilgim yok. Yazıyı koparabilirsek belki anlattırırız. Şimdi sadede gelelim. O dört matematik felsefesi okulunun benzerliklerinin ve farklılıklarının belirlenmesi meselesini şimdilik bir kenara bırakıyorum zira Ünal daha ilginç bir konudan bahsetmiş. Lobaçevski ve Riemann geometrilerinin ortaya çıkışıyla Euclides geometrisinin tek olanaklı geometri sistemi olmadığı anlaşıldı. "Ama gerçek dünyaya uygun tek geometri sistemi Öklit'inki" argumanı da diğer geometrilerin de kendilerine uygulama alanları bulmasıyla geçersiz hale geldi. Tabii "gerçek dünya"dan sadece hergün gördüğümüz, sağduyumuzu temellendiren dünyayı kastetmediğimizi varsayıyorum. O vakit ne oluyor? Başkaları nasıl görüyor bilmiyorum ama bu durum bana matematiği formel bir oyun düzeyine düşürüyor gibi geliyor. Yani ben de gelişigüzel birtakım aksiyomlardan yola çıkarak bambaşka bir matematik sistemi kurabilirim. (Tabii her gelişigüzel aksiyom setinden ortaya tutarlı bir sistem çıkacağı garanti değil, ama neyse.) Ve ola ki bir gün benim sistemimin de başarıyla uygulanabileceği fiziksel bir alan (realm) bulunur. Eğer bu doğruysa Biçimciler büyük bir zafer kazandılar demektir. Matematik içi boş bir formel sisteme dönmüş oldu. "Düzlemdeki iki ayrı noktadan bir ve yalnız bir doğru geçer" aksiyomu sezgilerimize ne kadar "aksi tahayyül edilemez" gibi gelse de aslında gelişigüzel bir kabuldür. Düzlem, nokta, doğru gibi kavramlar dışdünyada (ister olgusal dünya, ister Platon'un Formlar dünyası) karşılıkları olmayan soyut birer semboldürler. Bu yüzden bu aksiyomdaki ifadenin "Let A=B" önermesindeki ifadenin gelişigüzelliğinden hiçbir farkı yoktur. Olayı elbette ki abartıyorum. Herhalde matematikçilerin çoğu böyle düşünmüyordur. Merak ettiğim de o zaten: Öklitçi olmayan geometrilerin varlığını kabul ettiğimiz halde yukarıdaki tür sonuçlara varmaktan kaçınmayı nasıl beceriyoruz? YUSUF GÜRSEY: Fizik bolümünden itiraz! çok ayıp ettin! ;{)} Tarih içinde temellerdeki aksiyomların "apaçık doğru" olduğu inancı sarsılınca (Örnek: Euclides-Lobachevsky-Riemann geometrileri ve ufukta gözükenler) aksiyomların sezgilerimize koşul olma değerini yitirmesi özgürlüğüne kavuştuk. Ama temel Matematik disiplini, matematik sistemi kendi içinde hep TUTARLILIĞINI ve GEÇERLİLİĞİNİ korur. Aksiyomlarımız apaçık doğrular olmasa bile yorumda özgürüzdür. Bu yüzdendir ki uygulamalı bilimlerdeki dostlarımız üç boyut içinde sıkışıp kalırken bizler hergün yepyeni bir uzaya ve boyuta açılırız, ölcüt tabii ki kendi seçtiğimiz aksiyomlardır. Olaya bu gözle bakarsan Kant'ı sakın ola bir okulun içine atıp öldürme, birak kendi oznelligi icinde kalsin. Fiziki uzayı nazar-ı itibara alırsak 4 buutta kainat genişliyor, ama anlaşılan daha fazla buutlar var, ama kainat bu buutlarda *çok* daralmış. bir de içine madde koyabilmek için bir de normal sayılarla değil de operatörlerle ifade edilen "süper" buutlar ilave etmek lazım. yani fiziki olarak sıkışmış olan biziz, fizikçilerin kabiliyeti degil. Fiziki uzayı değil de faz uzayını nazar-ı itibara alırsak sonsuz buutlu bir faz uzayı düşünmek lazım. kuvantum mekanik başka nasıl yapacaksın? kompüterini diyoduna kadar nasıl izah edeceksin? kısacası bazen muhendislikte bile hesapları daha çok buutlu uzayda yapmaya mecburuz. YUSUF GÜRSEY: Şimdi sadede gelelim. O dört matematik felsefesi okulunun benzerliklerinin ve farklılıklarının belirlenmesi meselesini şimdilik bir kenara bırakıyorum zira Ünal daha ilginç bir konudan bahsetmiş. Lobaçevski ve Riemann geometrilerinin ortaya çıkışıyla Euclides geometrisinin tek olanaklı geometri sistemi olmadığı anlaşıldı. "Ama gerçek dünyaya uygun tek geometri sistemi Öklit'inki" argumanı da diğer geometrilerin de kendilerine uygulama alanları bulmasıyla geçersiz hale geldi. Tabii "gerçek dünya"dan sadece hergün gördüğümüz, sağduyumuzu o kadar da egzotik değil. mesela bu geometriler bir portakal kabuğunun niye bükmeden, çekmeden düzleştirilemeyeceğini izah eder. haritacılıkta da tatbikatı var. temellendiren dünyayı kastetmediğimizi varsayıyorum. O vakit ne oluyor? Başkaları nasıl görüyor bilmiyorum ama bu durum bana matematiği formel bir oyun düzeyine düşürüyor gibi geliyor. Yani ben de gelişigüzel birtakım aksiyomlardan yola çıkarak bambaşka bir matematik sistemi kurabilirim. (Tabii her gelişigüzel aksiyom setinden ortaya tutarlı bir sistem çıkacağı garanti değil, ama neyse.) Ve ola ki bir gün benim sistemimin de başarıyla uygulanabileceği fiziksel bir alan (realm) bulunur. Eger bu doğruysa Biçimciler büyük bir zafer kazandılar demektir. Matematik içi boş bir tarif ettiğine göre pek "içi boş" olmuyor. formel sisteme dönmüş oldu. "Düzlemdeki iki ayrı noktadan bir ve yalnız bir doğru geçer" aksiyomu sezgilerimize ne kadar "aksi tahayyül edilemez" gibi gelse de aslında gelişigüzel bir kabuldür. Düzlem, nokta, doğru gibi kavramlar dışdünyada (ister olgusal dünya, ister Platon'un Formlar dünyası) karşılıkları olmayan soyut birer semboldürler. Bu yüzden bu sembol değil, mefhum aksiyomdaki ifadenin "Let A=B" önermesindeki ifadenin gelişigüzelliğinden hiçbir farkı yoktur. zikrettiğin enteresan bir strüktür (herhalde "biçim"den bu kastediliyor) değil. bir yere götürmez, onunla başka birşey yapılamaz. geometri çok daha zengin bir strüktür. Olayı elbette ki abartıyorum. Herhalde matematikçilerin çoğu böyle düşünmüyordur. Merak ettiğim de o zaten: Öklitçi olmayan geometrilerin varlığını kabul ettiğimiz halde yukarıdaki tür sonuçlara varmaktan kaçınmayı nasıl beceriyoruz? Gayri-Öklidyen geometrilerin mevcudiyetinin bu neticeye yol acmaması lazım. geometrinin tatbikat sahasını tahdid etmiyor, genişletiyor. |
|
Hasan kusura kalma senin yazdıklarını temel alarak yazamıyorum, çünkü diğer hesabıma giremedim ve zorunlu olarak bu hesaptan list'e üye olup karşılıklı konuşmaya devam etmek istedim. Aklımda kalanlardan biri şu temeller üzerine oluşan okullara takılmışlığın. Ben bugün istersen biraz şu Mantıkçıları açayım; Geçen yazımda da yazdığım gibi, Euclides dışı geometrilerin ortaya çıkışı MATEMATİĞİN KESİN DOĞRULUK ilkesini çökertti. Kümeler teorisinde kaynağını bulan PARADOKSLAR da MATEMATİĞİN TUTARLILIĞINA bir darbe vurdu. Ve elbette ki MATEMATİĞE olan GÜVEN kuşkuya dönüştü. Bu durumda Matematikçi filozoflar işin temelinde sorun var deyip MATEMATİĞİN TEMELLERİNİ gözden geçirip, yeniden daha sağlam bir temele oturtmaya çalıştılar. İşin içinde ben inanıyorum ki YARATAN ALLAH kavramı da vardı. Bu hafta vaktim olur sanırım, Russell'ın bu konudaki yaklaşımlarını belki özetlerim. Ben bugün sadece MANTIKÇI okul içinde kalmayı yeğliyorum. Mantıkçılığın isim babaları Peano, Frege ve Russell. Matematiksel kavramları aşikar mantık kavramlarından türetmek isterler. Sonuçta Matematiksel teoremler mantığın aksiyomları ile ifade edilir. Mantığın değismezleri dediğimiz VE, VEYA, YA DA, KAPSAR oyunun temel taşları. Aritmetiğin kavramları doğal sayılara indirgenir ve onlar da mantıksal terimler ile ifade edilir. Frege eşdeğerlilik ve birebirlik üzerinde ustaca oynar. İşin özü üstadlar o güne kadar sorgulanmadan kullanılan kavramları sorgulayıp, tanımlayıp mantıksal bir disiplin ile ifade ederler. Örneğin, "SAYI" nesnelerin kümesi mi? kağıt üzerine çiziktirilmiş bir sembol ya da şekil mi? bir icat mı? yoksa sonsuza dek sürecek bir varlık mı? Sayı ve Çokluk aynı kavramlar mı? vs. Küme teorisinde engin ufuklara açılan mantıkçılarımız, "sayı küme kavramına vurulduğunda toplama özelliğini yitirmez mi?" diye sorulduğunda tökezlerler, oysa Platon bilmem kac bin yıl önce cevap vermemiş miydi? Russell bunun üzerine imdada yetişir ve "Tipler teorisi"ni ortaya atar. Kümelere hiyararşik bir düzen verir. Mantıkçıların yaptığı formel mantık ile (şimdi dilerim biri çıkıp da FORMEL MANTIK nedir diye sormaz :-)) matematiği belirli bir disiplin altında birleştirmeleridir. Matematiksel kesinlik TOTOLOJİ (Üstün kulağın çınlasın galiba biri buna HEPDOĞRU demişti) ile kimliklenir. İnsan aklının yapısal özelliği, sezgi yetisi sanki ihmal edilmiştir MANTIKÇILAR tarafından. Şimdi sezginin yer almadığı bir sistemde yeni buluş, yaratıcılık ne kadar mümkün olabilir? Geçen yazımda da yazdım galiba, matematik özgürce seçilen bazı varsayımların çıkarımları ile gelişmediği sürece, bir tek değil birçok sistem ile beslenmediği sürece miskindir, hadımdır. Poincare "Science and Method"da Mantıkçılık için der ki "Mantıkçılık araştırmacı için köstekten öte birşey değildir. Bu özelliği ile kesin olma yönünde bize birşey sağlayamamıştır. 1'in bir sayı olduğunu ispatlamak icin 27 denklem gerekiyorsa, bu öğretide bir teoremin ispatı için kaç denklem gerekir acaba?" Soruların arasına giren Y.Gürsey hoş geldi sefa geldi, ama biraz alıngan geldi. Ben hep kendimize en yakın dost olarak Fizikçi ve Uzay Bilimcileri görmüşümdür. İtirazı olduğu yerde haklı ama beni yanlış anladığı açık, kendi örneklemelerini ve o teorilerin isim babalarını düşünürse sözümün ona dokunmaması gerektiğini anlar. İkincisi sayın Gürsey'in diline galiba alışık değilim, bana daha aydınlatıçı ve benim anlayacağım dilde yazarsa sevinirim. İşin kötü tarafı yanımda TÜRKÇE terimler sözlüğü de yok :-) Ve son bir rica kisa cümlelerden çok, daha geniş açıklamalı cümleleri tercih ederim. Kendisinin benden bir ricası varsa başım gözüm üzerine ;-) Devam etmek dileği ile Ünal Ufuktepe Not: Hasan istersen şu AKSİYOMATİK yaklaşımın ne olduğunu açabiliriz. Ama ilk işim şu okullar meselesini anlaşılır kılmak. HASAN BAHÇEKAPILI: Ünal, seni pür dikkat takip ediyorum. Sen kendi yaptığın organizasyona göre devam et. Ben de arada neyi merak ettiğimle ve ne anladığımla ilgili özetler yaparım, sen de olmuş ya da olmamış dersin. Şimdi bir tane yapayım mesela. İlk merak ettiğim hususlardan biri Temelcilerle Biçimcilerin farkıydı. İkisi de matematikle mantığı eşdeğer olmasa da yakın görüyorlar. Ondan sonra da, doğrudan cevap veremediğin son mesajımda belirttiğim gibi, matematikteki son gelişmelerin Biçimciler için büyük bir zafer olduğundan bahsettim. Ya da belki Biçimcilik bu gelişmelerden (Öklidci olmayan geometriler vb.) sonra ortaya çıktı. Senin olayları anlatışın da artık hakim olan görüşün Biçimcilik olduğu izlenimini uyandırıyor bende. Bunun da matematiği içi boş bir formel sisteme dönüştürdüğünü söyledim. Burada Yusuf araya girdi ve öyle olmadığını, matematiğin herhangi bir formel sistemden çok daha zengin olduğunu söyledi. Sanırım burada "içi boş"luktan ne kastettiğimi daha iyi açıklamam lazım. Diyorum ki, aksiyomları ifade ederken kullandığımız nokta, doğru, geçmek gibi kavramların arkasında bir anlam yok artık. Bu aksiyomları "A ve B arasında x ilişkisi vardır" gibi senin onlara vereceğin anlamın haricinde bir anlam ifade etmeyen (bu anlamda içi boş) sembollerle de ifade edebilirsin; bu herhangi bir anlam eksilmesine yol açmaz. Sistemini bu sembollerle kurabilirsin. Ondan sonra istersen A ve B'yi nokta ve doğru olarak düşün ve kurduğun sistemin adına geometri de; veyahut da A ve B'yi toplar ve tanklar olarak düşün ve kurduğun sisteme de savaş stratejisi de. Yani sistem tamamen sembolik, anlamdan yoksun, "içi boş". Demek istediğim buydu. Ama bunun böyle olduğunu iddia etmiyorum. Anladığım kadarıyla bu Biçimcilerin görüşü. Onlara nasıl karşı çıkılabilir diye soruyorum. Gene gördüğüm kadarıyla Yusuf da Ünal da bunu matematiğin değerini azaltmayan, tam tersine zenginleştiren bir gelişme olarak görüyorlar. Ben nedense öyle görmüyorum. Çünkü sistemin kendisi zenginleşmiyor, ortaya birbiriyle ilişkisi olmayan sistemler çıkıp duruyor. Mesela fizikte büyük birleşik kuram arayışları vardır. Matematikte de böyle hem Euclides'in dünyasını, hem portakal kabuğunun dünyasını, hem de kuantum fiziğinin dünyasını içine alacak bir süper-geometri sistemi arayışı yok mu? (Çok saçma bir fikirse ciddiye almanıza gerek yok.) ÜNAL UFUKTEPE: Hasan şunu baştan söylemeliyim ki bir at başı önden gidiyorsun. Tam yazmaya hazırlanıyorum, pat, senin zevkle okuduğum aydınlatıcı ve sorgulayıcı betiklerin karşıma çıkıyor. Dediklerin doğru ve içi boşluk konusunda ben seni yanlış anlamadım. Sembolik Mantık, yani Biçimcilik (formalizm) en çok senin altını çizdiğin alanda eleştiri aldi. Ve Matematik tarihi ile matematik felsefesi arasındaki köprüyü yıkmakla suçlandı. Biçimcilerin önderi David Hilbert ilginç biri. Temelciler bir toplantıda birbiriyle ateşli ateşli tartışırken Hilbert kürsüye çıkar, "Birbirimize kızmamız anlamsız, yanlış olan bir taraf yok, çünkü ortak bir yanımız yok" türü laflar eder, ortalığı yatıştırır. Matematikte paradokslar bunalımı yaşanınca D. Hilbert ve yakın takipçileri matematiği kendi içinde yeniden yapılandırmaya ve düzenlemeye çalışırlar. Matematiği hantallıktan kurtaracağız diye ifadede arındırmaya yönelirler. Matematiği soyut nesneleri ve ilişkileri konu alan SİMGELER sistemine indirgerler. Bu bağlamda bakıldığında sen %100 haklısın, MATEMATİK İÇERİKTEN yoksundur (sen buna içi boş demişsin). Model bu sefer DİZİ kavramı. TUTARLILIK ve TAMLIK (Matematiksel Tamlık kastedilen) ÖZdür. İSPAT TEORİSİ ise üründür. İş simge ya da sembollere indirgenince tabii ki olay göze bir OYUN gibi geliyor. İşin aslına bakarsan kimi zaman öğrencilerime konuyu anlatırken bunu bir oyun olarak düşünün derim, garip garip bakışlarından benim oyunuma ne kadar katıldıklarını görmemek mümkün değil elbet. Biçimciler ne yaptı? :
Temel kaygı hep DOĞRULUĞUN, KESİNLİĞİN kalesi Matematiği güvenilir ve tam kılmak, yoksa kusursuz doğruluğu nerede bulacağiz... Biçimciler bu işi becerdik derken araya Gödel girer, Hilbert'in bizzat kendi öğrencisi R. Courant girer. Ve Hilbert de tıpkı Frege gibi garip bir burukluğu yaşar. Gödel neyi ortaya koyar? Aranan salt kendi içinde bir kesinlikse bunu bulamayacağız. Tutarlılığı ispatlamak kuşkuludur. Şimdi biri araya girse de Gödel'i biraz anlatsa diyorum. Devam etmek dileği ile, Not: I. Lakatoş'un Biçimcilere yönelik eleştirileri oldukça değerlidir. Sanırım bu üstadın bir kitabı Türkçeye çevrildi. Türkiye'deki dostlara duyurulur. ALİ BALİ: Sevgili Hasan, Ünal, Madem matematik felsefesine böylesine daldınız, oradan şöyle bir bilgi teorisine de uzanıp, gündelik (avami), bilimsel ve felsefi bilgiyi şu biz cahillere tanımlasanız. Ben yapamıyorum, bir, hazırda kaynağım yok, vereceğim bilgiler derme-çatma olacak, iki, uzun uzun yazacak zamanım yok. Tartışmanızı şu anda ayrıntılı okuyamasam da zevkle takip ediyor, ileride daha dikkatli okumak üzere saklıyorum. Yalnız, bir noktaya işaret etmek istiyorum, Türkiye'de matematik felsefesi konusunda... yanlış hatırlamıyorsam, ODTÜ'de 1986-1987 yılından itibaren felsefe bölümü master/doktora programları ve araştırma görevlilikleri icin Matematik bölümü mezunlarını ağırlıkla alıyorlardı. Ama eğer söylediğiniz gibi ise bu 9-10 yıl, Cemal hocanın çabasına fazla bir sey katmamış gibi. Selam, sevgi ve saygıyla... ÜNAL UFUKTEPE: Mantıkçılar için Matematik kesin ve kusursuz olan tam formel mantığın temelinden başka birşey değil. Geometrik şekiller, fonksiyonlar ve sayı- lardan çok mantıksal semboller ve onların bileşimleri, onlar arasındaki ilişkiler ve kurallar önemli. Matematiği mantıkçı bir temele oturtma aslında Leibniz ile başlar (mantıksal kalkülüs üzerine çalışmaları). Frege saf bir mantıktan aritmetiği türetmeyi ve bunu da kalkülüs'te kullanmayı denedi. Peano ise daha çok bunların uygulama alanları ile uğraştı ve matematiğe estetik semboller kazandırdı. Russell'ın çalışmaları ise daha çok kavramların analizi, çözümlenmesi ve matematiğin mantığına dairdi. Kurt Gödel, Russell'ın çıkış noktası ile sonuç noktası arasında büyük farklılıklar olduğunu ileri sürer ve onun başlangıç dönemine daha bir sıcak bakar. Mantıkçı sistemde birşeylerin ihmal edildiğini, ya da gözden kaçtığını söyleyen K.Gödel sentetik düşüncenin eksikliğini ileri sürer; eğer ispatın inandırıcı olmasını istiyorsak, mantık yöntemlerini kullanırken, daha doğrusu önerme cümleleri mantıksal terim ve semboller ile yer değistirirken hatalar yapılıyor. Tanımlanmamış ve tam olmayan sembolleri açıklanan cümlelerde kullanmak yanlış. Frege ve Russell'a yönelttiği eleştirilerde "The..", "denote, signify, indicate, express" terimlerinin kullanımındaki çelişkilerin altını çizer. Tabii ki Gödel'in eleştirileri bu kadar dar değil ama ben dalmayacağım, çıkmak zor doğrusu. Yukarıdaki tırnak içindeki sözcükleri bile doğrusu Türkçeleştirmeye korktum. Dil Felsefecileri, buyrun sofraya :-) SEZGİCİLER: İlk iki okula ya da düşünce sistemine tepki olarak çıkmıs. Kavram ve çıkarıma içerik kazandıran SEZGİ matematiksel yöntem. Bu durumda kavram ve çıkarımlar TAM ve KESİN olmak zorunda. Temeli, anlayacağınız, sıkı inşa etmek istiyorlar. Brouwer bunların öncüsü, felsefi dayanaklarını Kant'a kadar uzatıyorlar. Matematiksel indüksiyon (sonlu gözlem ile olgusal sonuca ulaşma) yöntemini kullanıyorlar. Haliyle Cantor'un kümeler teorisi geçersiz sayılıyor. Olmayana ergi yöntemi (varlık yokluk ile ispatlanıyor) kabul bulmuyor aynı şekilde Konjektürler'de. Sonsuzluk konusunda Mantıkçılar ve Biçimciler (Şekilciler-Formalistler) vardır-yoktur gibi iki kesin uçta dururken Sezgiciler arada kalıyor, onlar için ne doğru ne de yanlıştır. Hilbert yokluğu Fizikçilerden güç alarak öne sürüyor, Russell ise fiziksel varlık ve olası varlıkların birbirine karıştırılmaması gerektiğini söyler, madem matematiğin konusu olası kavramlardır, öyle ise sonsuzluk da vardır. Descartes mezarından söyleniyor, siz sonlu yaratıklar sonsuzluk ile kafayı ne bozarsınız diye. Kuranı Kerim ise bu konuda açık ve net gibi (ötelerin ötesi tanımlaması ile). Sezgiciler matematiği zihinsel bir etkinlik olarak alır, ve soyut ile somut arasında sanki bir köprü oluştururlar. Diğerlerine göre daha dinamiktirler, düşüncelerin, bilginin evriminin en güzel örneği gibi geliyorlar bana. Ama köprü olunca, temel sorun da temelin inşası olunca matematiğe yine hakettigi canlılığı-enginliği ve güzelliği kazandı- ramıyorlar. Oğulcan (şimdi 6 oldu) geçende ders çalışırken sonsuz sembolünü gördü, sekizi neden yatırdığımı sordu, ben de o sonsuz oğlum dedim, What is infinity? Çok çok çok büyük, görmek, ölçmek mümkün değil, dünyadan da büyük, güneşten de, dedim. Baktı gözleri parladı, Daddy I love you as much as infinity. Güldüm, sarıldım sonsuz bir öpücük aldım. Devam etmek umudu ile TANER BİLGİÇ: Merhaba, Ben de güzel giden bu tartışmaya bir ucundan katılayım dedim. Hasan'ın sorduğu ilk soruyu temel alarak Mantıkçılar ve diğerleri arasındaki farkları bildiğim kadarıyla özetleyeyim. Mantıkçılık (Temelcilik, Frege-Russell-Whitehead) "matematiksel doğru"nun doğası hakkındaki araştırmalardan doğdu. Mantıkçılar, Kant'ın iddia ettiğinin aksine, matematiğin bir öznesi olmadığını ve matematiğin sadece kavramlar arasındaki ilişkileri incelediğini göstermeye çalıştılar. Bu ilişkilerin de analitik olması gerektiğini savundular. (Hasan'ın içi boş dediği bu olsa gerek. Bu noktada Mantıkçılık ile Platonculuk ayrılıyor. Platoncular, en azından aritmetiğin herşeyden bağımsız ve önce var olduğunu kabul ederler). Mantıkçıların en büyük başarısı, bütün klasik matematiği (tamamlanabilirlik uygunca dışarıda bırakılırsa) tek bir sembolik sisteme indirgemeleri oldu. Bu da en çok Biçimcilerin (Formalistler) hoşuna gitti. Biçimciler matematiğin mantığa indirgendiği savını kabul etmeseler de Whitehead ve Russell'ın sayesinde matematiğin formal temelinin daha açık ifade edilmesine sevindiler. Oysa Mantıkçılar sadece matematiğin belitlerini (axioms) ortaya çıkarttıklarını değil, bütün matematiksel gerçekleri sadece ve sadece mantık kullanarak TÜRETTİKLERİNİ düşünüyorlardı. Kurt Gödel, matematiğin sadece temel mantığa indirgenemeyeceğini gösterdi. Fakat Gödel'in sonucu tümüyle olumsuz değil. Erken mantıkçıların inandığı gibi matematik temel mantığa indirgenmedi ama temel mantık ARTI kümeler kuramı ARTI kümelerin kümeleri kuramı ARTI kümelerin kümelerinin kümeleri kuramı ARTI ... yı içeren bir sisteme indirgendi. Dolayısıyla eğer temel mantık yerine daha geniş bir sistem olan modern kümeler kuramı temel alınırsa mantıkçıların açtığı yolda epey mesafe kaydedildiği görülür. Oysa mantıkçılar, kümeler kuramının temel alınması fikrine karşı mesafeli durdular. Onlara göre, kümeler kuramındaki varlıksal belitler (existential axioms), temel alınacak kadar "analitik" değillerdir. Burada kümeler kuramına daha fazla girmeden kesiyorum. Sezgiciler ile devam edeceğim. YUSUF GÜRSEY: Ben Gödel'den alınan dersin Taner'in anlattığından biraz farklı olduğunu biliyorum. Gödel'in çıkardığı neticeyi daima ispat edilemeyecek teoremler olduğu, bunların yeni aksiyomatik sistemler doğurabileceği, böylece bütün matematiğin birkaç aksiyomdan çıkamayacağı olarak biliyorum. Taner'in Gödel'e atfettiği bildiğimce Russell'ındı. Bildiğim kadarıyla Russell modeliyle Gödel'in kaçınılmaz dediği problemi bertaraf ettiğini zannediyordu. Bu bapta Ünal'ın ve Taner'in fikrini soruyorum. YG TANER BİLGİC: Ben Gödel'den alınan dersin Taner'in anlattığından biraz farklı olduğunu biliyorum. Gödel'in çıkardığı neticeyi daima ispat edilemeyecek teoremler olduğu, bunların yeni aksiyomatik sistemler doğurabileceği, böylece bütün matematiğin birkaç aksiyomdan çıkamayacağı olarak biliyorum. Taner'in Gödel'e atfettiği bildiğimce Russell'ındı. Bildiğim kadarıyla Russell modeliyle Gödel'in kaçınılmaz dediği problemi bertaraf ettiğini zannediyordu. Bu bapta Ünal'ın ve Taner'in fikrini soruyorum. Haklısın Yusuf. Kahve molasında matematik felsefesi tartışmaya kalkınca olan bu. Daha önceki mesajımda Gödel'e atfettiğim sonuç Russell'ın. Oysa vurgulamak istediğim nokta, Gödel'in sonucunun mantıkçılara vurduğu darbe bir yana, olumlu bir yönü de olduğu idi. Bu da şöyle yorumlanabilir sanıyorum: eğer bir kuram tutarlı ise hiçbir zaman ispat edemeyeceğimiz bazı cümleler (Gödel cümleleri) vardır. Üstelik Gödel bize bu cümleleri nasıl kurabileceğimizi de gösteriyor. Birtakım insanların telefon numaraları bulunan bir makinayı ele alalım. "Makina Ahmet'in telefon numarasını BİLİYOR" cümlesinin doğru olup olmadığını anlamak (makina için bile) basit bir çıkarım. Halbuki "Makina Ahmet'in telefonunu BİLMİYOR" diyebilmek için Gödel'in etrafından geçmemiz lazım. Çünkü bir cümlenin kuram içinde TÜREMEDİĞİ zaman yanlış sayılması için kuramın tutarlı olması gerek. Gödel ise bize bunun bir kuram içinde yapılamayacağını gösteriyor. (Yok mu hiç veri-tabancı bu konuda birşeyler söyleyecek?) Ünal Sezgicileri anlatmış. Eline sağlık. Benim eklemek istediğim tek nokta Sezgicilerin sonsuzluk kavramı karşısındaki tutumları. Sonsuz bir yapı içeren herhangi bir cümle ispat edilebiliyorsa doğru, tersi ispat edilebiliyorsa yanlış ama diğer bütün durumlarda ne doğru ne de yanlıştır. Örneğin "İkiz asal sayılar ((5,7),(11,13),(17,19),...) kümesi sonsuzdur" cümlesinin doğruluğu, henüz bilmese bile, klasik matematikçi için bellidir (ya doğru ya yanlış). Oysa Sezgiciler için bu cümlenin doğruluk değeri belli değildir. Bu noktada sezgiciler diğer tüm okulların aksine klasik mantıktan uzaklaşıyorlar. Ben de eve gidip bebeğimizden Ünal gibi sonsuz bir öpücük alacağım günleri heyecanla bekliyorum. ZÜLFÜ AŞIK: Bu ilişkilerin de analitik olması gerektiğini savundular. Güzel giden tartışmada sorulacak o kadar çok soru var ki, şimdilik aşağıdaki soruyla yetinmek istiyorum. İlişkilerin analitik olması ne demek? Kelime olarak 'analitik' denince neyi anlamalıyız ya da bu kelimeyle ne anlatılmak istenir? (Üstte matematiksel anlamından farklı mı kullanılmış ya da ben bağlantıyı kuramadım mı?) Teşekkürler. HASAN BAHÇEKAPILI: Ünal ve Taner'in açıklayıcı yazılarını okurken ben de birkaç not düşeyim. Analitik-sentetik ayrımı şu demek: Bir önerme özne ve yüklemden oluşur. Yüklem özneye birşey "yükler". Eğer bu yüklenen şey öznenin anlamının içinde zaten varsa bu tür bir önermeye analitik önerme denir. Buna klasik örnek "Hiçbir bekar evli değildir" önermesidir. Burada bekarlara "evli olmama" özelliği yükleniyor. Bu ise zaten "bekar"ın tanımının içinde vardır. Onun için önerme analitiktir. Bu "Bütün bekarlar evlidir" önermesi için de geçerli. Burada da önermenin doğruluk değerini sadece öznenin anlamını analiz ederek saptayabiliyoruz. Kısacası totolojiler ve çelişkiler analitik önermelerdir. Bunların karşısında yer alan sentetik önermeler ise özne hakkında yeni birşey söylerler. Mesela "Bütün bekarlar evlenmek ister". Bunların doğruluk değeri cümlenin anlamına bakarak çıkarılamaz. Bu konunun matematikle ilişkisi de şu. Matematiksel önermelerin analitik mi sentetik mi olduğu konusunda felsefe tarihinde ünlü bir tartışma vardır. Hume diğer mantıksal önermeler gibi analitik olduğunu, ondan sonra gelen Kant ise sentetik olduğunu iddia etmiştir. Burada bir de a priori/a posteriori ayrımı var ama ona girmiyorum. Giriş için bu kadarı yeter. İkinci bir not Gödel'in ispatının ne anlama geldiği konusunda. Ben bu ispatı okumadım, zaten okusam da anlayamam. Ama başka yerlerden okuduğum kadarıyla şu anlama geliyor: Tutarlı ve eksiksiz bir aksiyomatik sistem kurmak mümkün değildir. Aksiyomatik sistemden kastedilen sadece matematik değil, bütün formel sistemler. Sanırım Yusuf da buna benzer birşey söylemişti. Diğer bir deyişle sistemimizi ne kadar genişletirsek genişletelim, sistemin içindeki kavramlarla ifade edilebilecek ama sistemin kuralları kullanılarak doğru veya yanlış olduğu gösterilemeyecek, veya hem doğru hem de yanlış olduğu gösterilebilecek, önermeler bulunacaktır. Yeni tanımlar ve aksiyomlar ekleyerek bu önermeleri ispat edebilir (doğru veya yanlış olduğunu gösterebilir), çelişkileri ortadan kaldırabiliriz, ama yaptığımız eklemeler bu türden yeni önermeler ortaya çıkaracaktır. Yani sonuç olarak matematik eksiksiz bir formel sistem haline getirilemez. Bu Mantıkçı okul için büyük bir darbe, ama anladığım kadarıyla diğer okulların da bundan kendilerine çıkaracakları bir pay yok. Kimsenin hoşuna gidecek bir sonuç değil bu. Bildiğim kadarıyla Gödel'in değindiği türden çelişkilere özellikle kendine referansta bulunan kavramlar yol aciyor. Bu yüzden Taner'in, matematiğin mantığa artı kümeler kuramına artı kümelerin kümesi kuramına ... indirgendiğini söylemesine şaşırdım. Gene benim bildiğim kadarıyla "bütün kümelerin kümesi" gibi kavramlar çelişkilere yol açıyor. Geçenlerde bir kitapta bunla ilgili güzel bir ispat okumuştum. Ama bilmiyorum, belki de bahsettiğimiz aynı şey değil. Bu konuyla ilgisi yok ama Ali'nin sorusu için de şunu söyleyeyim. Felsefedeki bilgikuramına göre bilgi "doğrulanmış doğru inanç"tır (justified true belief). Burada bilginin bir inanç olması ve bilgi olması için doğru olmasının gerekmesinden ziyade "doğrulanmış" olması şartı ilginç. Yani buna göre tesadüf eseri doğru olan inançlar bilgi değildir. Mesela birisi bana bir konuda yalan söylemişse, ben de onun söylediğini yanlış anlayıp sonuçta doğru bir inanca sahip olmuşsam bu sahip olduğum şey bilgi değildir. Bunun tersi de mümkün. Doğrulanmış (diğer bir ifadeyle rasyonel sebeplere dayanan) bir inanç yanlış olabilir ve bu da bilgi değildir. Burada akla "Bir inancın rasyonel sebeplere dayanıp dayanmadığı nasıl belirleniyor?" sorusu geliyor. Bu konuda maalesef yardımcı olamayacağım zira epistemolojide de yüzyıllardır bu tartışılır durulur. Sanırım bugünluk bu kadar yeter. Hikayenin devamını merakla bekliyorum. ÜNAL UFUKTEPE: Hasan ve Taner'in bilgilendirici açıklamaları, Yusuf'un uyarıcıları, cümlelik yön göstericiliği ile az çok bir yerlere ulaştığımızı sanıyorum. Benim bugün yapacağım Bilgikuramı ışığında, Popper'ın çıkarımları ile konuyu bağlamak. Kaos teorisinin moda olduğu bir dönemi yaşıyoruz. Matematikçilerin yarattığı bulanık, bağışık uzaylar rağbette. Böylesi karmaşık bir sistem içinde bilimsel bilgiden ne anlaşıldığı elbette ki zorlaşıyor. Önce pratik sonra "paratik" ve teorik ihtiyaçlardan, kuşku ve meraktan günlük yaşamdaki yaşamsal sorunları sorgulamak ile başlayan Bilginin bugün geldiği yer ya da boyut oldukça başarılı. Bir zamanlar nüfus patlaması üzerinde kafa yoran bilim adamları, bugün garip bir benzerlikle BİLGİ PATLAMASI'nın getireceği sorunları düşünür oldu. Teorik bilginin ulaştığı entellektuel düzeyi yakalamak kolay iş değil. Meslektaş kavramı öylesine daraldı ki. Bilgi objektif doğrular için yapılan araştırmaların ürünü. Araştırmalarda kesinliği yakalamaktan çok doğruya ulaşma hedef olmalı yoksa matematiğin temellerindeki sorunlar ile yüzyüze kalırız ve paradoksların arasında bilgi kördüğümünü yaşarız. Böylesi bir çıkarımın dayanak noktası 'HATASIZ KUL OLMAZ' deyiminin doğruluk değeri. Dini sisteminde peygamberini bile bir insan olarak algılayan bizim gibi toplumlarda bu görüş daha bir TUTARLI ve SAĞLAMDIR. Hata yapan insan'ın elde ettiği bilgi her zaman için yanlışlanabilir, hata içerebilir, dolayısıyla kesinlikten uzaktır. İnsanoğlu için temel kaygı hatalardan arınmadır (bu sistem DİN ile korkunç bir paralellik taşıyor). Hala belirsiz olan o kadar çok doğru var ki... ama gel gör ki onları ispat etmek bugünün bilgi gücü ile mümkün değil, ama diğer yandan bu doğrular yüzyıllar önce ileri sürülmüş. Madem bilgilerimiz kesinlikten uzak, o zaman doğruyu öğrenmeye, ona ulaşmaya dair çabamız hiçbir şekilde engellenemez (bakınız bilim tarihi) merakımız niye, bunca dövüs, itiş kakış niye? Tabii ki doğruyu yakalamanın doyumsuzluğu. Kant böylesi bir dönemde ortaya "Doğru nedir?" sorusunu atar, ve kesinlikle buna kesin bir cevap vermez, K.Popper onun yolundan gider, ve ikisinin doğru üzerinde komşuluğu şu çıkarım çerçevesindedir: Eğer bir teori ya da önerme gerçeğe karşılık geliyorsa doğrudur. Formüle edilen bir önerme ya doğru ya da yanlıştır. Yanlış ise TÜMLEYENİ doğrudur, öyle ise en az yanlış önermeler kadar doğru önermeler vardır. Yaratıcı bir zihinsel aktivite, sanatsal bir etkinlik, bir mit ya da bilim olan MATEMATİK'te doğruyu bulma, onu TUTARLİ ve KUŞKUSUZ bir temele oturtma girişimleri takip ettiğiniz özetlerin özeti olan yazışmalarımızda üç temel okulda şekillendi. K.Popper bilindiği gibi Avusturyalı bir filozof. Öğrencilik yıllarında sıkı bir Mantıkçı olan Hans Hahn'dan çok etkilenmiştir. 'Principia Mathematica' ellerindeki biricik öncül. Popper bu eseri heyecan verici ideolojik bir çalışma olarak tanımlar. O dönemki çalışmalarını aynen şöyle açıklar "Şüphe götürmez mantıklı birşey ile başladik, ve mantıksal bir sonuç çıkardık, bunu yaparken de şüphe götürmez matematiği elde ettik." Bu sadece Popper'ın geçmişini sorgulayışıdır. Daha önceki yazılarda da belirtildiği gibi mantık çıkarımı ile başlayan çalışmalardan önermelere dayalı kalkülüs, kısıtlı fonksiyonel kalkülüs türetilir. Bunlardan küme teorisi, diferansiyel ve integral kalkülüs ise onun birer dalı olarak geliştirilir. Whitehead ve Russell'ın Principia'sı şiddetli eleştirilere neden olur. Aksiyomatik yaklaşımın ürünü Formalizm, küme teorisini mantıktan değil, Euclidien geometriye benzer formel aksi- yomlar sisteminden türetmeye çalışır; Hilbert, von Neumann ve Zermelo bu okulun temsilcileri. Sezgiciler ise Poincare ve Brouwer ile ayrı bir mantıksal düşünme sistemi ile matematiği kesinlik ve tutarlılığın içine yerleştirmeye çalışır. Paradokslarla Temelciler birbirlerinin temellerine karşı saldırıya geçerken savaşın tam da en ateşli bir döneminde Avusturyalı matematikçi Kurt Gödel savaş alanına ispatları ile dalar. İlk olarak Hilbert'in kısıtlı fonksiyonel kalkülüs'teki açık (yani ispatlanmamış) bir sorusuna TAMLIK ispatı verir. Formalistler bundan kendilerine pay çıkarmaya çalışır. İkinci katkısı da Sayılar teorisi ve Principia Mathematica'nın kusuru üzerine verdiği ispattır. Russell'ın indirgeme teorisi, yani matematiği mantığa indirgeme, reddedilir. Matematik hiçbir şekilde mantığa indirgenemez, aksine mantığa inkar edilemeyecek bir zariflik kazandırmıştır, onları eleştirel bir düzenleme içine koymuştur. Diğer yandan sezgi matematiğin gelişiminde ve yaratıcılığında önemli bir faktördür. Özet olarak matematiğin tek bir sistemi yoktur, onun farklı farklı metodları vardır. İnşasından çok yapılanması sözkonusudur. Zayıf sistemlerde bile yapının tutarlılığını göstermek mümkündür. Matematiğin bugün mevcut birçok dalı TAM DEĞİLDİR, bunlar ancak güçlendirilebilir ama asla kusursuz, tamamı ile kesin önermelere sahip olamaz. Gödel daha sonraki çalışmalarında 'SÜREKLİ DİZİLER HİPOTEZLERİNİN'
ispatını verir (Cohen de aynı konu üzerinde ispatlar verir). Güzel olan,
ispatı verilen soru ne küme teorisi ile doğrulanabilir ne de yanlışlanabilir.
Bu soru üzerine Hilbert ve Cantor da çalışmış ama hiçbir zaman ispatı
verememişlerdir. Bu ise ileri sürülen sistemin diğerlerinden bağımsızlığıdır.
Ulaşılan yer matematiğin sahip olduğumuz 'DOĞAL' ve 'SAF' mantıksal
sezgilerimizi düzeltiyor oluşudur. Gödel'in ispatları Popper'ın dediği gibi
bu mantıksal okulların sonu ve matematik felsefesinde yeni ufukların
başlangıcıdır. |
|
araf dergi | bu sayı | sanal politik | arama | meydan | turnalar | arafiyan | kılavuz |